Ateliers

Résumés des conférences du Jeudi 12 mars

La démonstration, une logique en situation (11h15-12h15)

Nicolas Balacheff, Directeur de Recherche CNRS émérite, Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG), CNRS, Université Grenoble Alpes.
Viviane Durand-Guerrier, Professeure émérite, Université de Montpellier, Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (IMAG), CNRS, UM.

Ce titre fait écho à la conférence donnée par Gilbert Arsac en octobre 2009 dans le cadre du colloquium CFEM-ARDM, dans lequel il propose une étude didactique de la démonstration, en référence aux mathématiques, à l'histoire et à l'épistémologie*.  Une thèse soutenue par Gilbert dans la conférence est qu'il y a une trop grande intrication entre la logique et le raisonnement mathématique pour que l'on puisse apprendre à raisonner en mathématique à partir de la logique. Plus généralement, Gilbert aimait dire qu'il n'y a de logique qu'en situation.  Dans cette conférence à deux voix, Nicolas parlera de la relation entre preuve et situation dont il a beaucoup discuté avec Gilbert, et l’équipe du projet Problème ouvert, projet auquel il a participé dans le cours des années 80. Viviane reviendra sur les questions épistémologiques et didactiques étudiées par Gilbert en ce qui concerne la démonstration et le raisonnement mathématiques, ainsi que sur les travaux qu'elle a conduit avec Gilbert d'abord dans le cadre de sa thèse, puis dans les recherches conduites en collaboration dans la première décennie des années 2000, pour tenter d'élucider la place et le rôle de la logique dans la pratique du raisonnement mathématique. 

Une trajectoire intellectuelle :  Gilbert Arsac allant de la maîtrise des fonctions de l'Irem à l’erreur enfin corrigée concernant les fonctions continues à partir de Cauchy. (14h-15h)

Jean Dhombres, EHESS, Paris

Parce que je l’ai d’abord connu en tant que responsable à l’Irem, je voudrais commencer par rappeler ce qu’a pu représenter comme engagement le travail dans ces Instituts de recherche créés avec un grand sens de l’exploration des possibles dans une large communauté d’enseignants, sous la tutelle d’un esprit peu ordinaire comme André Lichnérowicz, sans parler d’une kyrielle d’animateurs dotés d’une forte personnalité en différents lieux de France, et sans subir l’hégémonie parisienne. Gilbert Arsac, d’autres le diront mieux que moi, s’est inscrit dans cette cohorte en publiant notamment sur la question du problème ouvert ou la question de l’axiomatique dans l’enseignement. Sans abandonner de telles activités, il a aussi adopté un chemin rare vers l’histoire des mathématiques, finalisé par un livre concernant la notion d’uniformité, liée à celle de fonction continue sur un espace compact, scrutant avec une attention érudite les textes disponibles à partir de Cauchy en 1821, pour comprendre les raisons d’une erreur qui affecta des esprits aussi vifs qu’Abel. 

Pratique du problème ouvert à l’école primaire : quels choix pour les professeurs des écoles et quels apprentissages pour tous les élèves ? (15h00-16h00)

Christine CHOQUET-PINEAU CREN Nantes Université, INSPE Académie de Nantes

Initialement conçues pour l’enseignement des mathématiques dans le secondaire, des séances dédiées à l’étude de problèmes ouverts sont également proposées à l’école primaire. Arsac et Mante (2007) y consacrent d’ailleurs un chapitre de leur ouvrage et les instructions officielles de mathématiques, dès l’année 2002, encouragent les professeurs des écoles à les étudier en classe.

Cette conférence s’appuiera sur une partie de nos recherches qui s’intéresse à la pratique du problème ouvert à l’école primaire. Il s’agit dans notre étude de décrire et comprendre ces pratiques et de cerner les enjeux d’apprentissage pour les élèves. Nous présenterons des résultats d’analyse des choix et des mises en œuvre de séances proposées par des professeurs des écoles en cycles 2 et 3. Ces analyses se placeront dans deux cadres théoriques : la double approche didactique et ergonomique (Robert et Rogalski, 2002) et l’apprentissage par problématisation (Fabre, 2011 ; Orange, 2012). Nous expliciterons en quoi ces deux cadres sont complémentaires et nous permettent de hiérarchiser les pratiques observées à l’école primaire selon deux profils (Choquet, 2014, 2017). Plusieurs exemples d’expérimentations issus de nos travaux (Choquet, 2016, 2017, 2021, 2022, 2024), et en lien avec ceux de la communauté didactique en France, donneront à voir ce qui se joue avec les élèves lors des différentes séances. Nous montrerons en particulier en quoi les choix faits par les professeurs des écoles (en termes d’énoncés et de manière de mener les séances) ont une influence sur les apprentissages de tous les élèves.

Résumés des conférences du vendredi 13 mars

L’innovation problème ouvert et l’initiation au raisonnement déductif (9h45-11h00)

Gilles Aldon IREM de Lyon, laboratoire S2HEP, Université Lyon 1

Les problèmes ouverts ont été initialement présentés comme une innovation pédagogique et l’initiation au raisonnement déductif comme une phase préalable à l’enseignement de la démonstration au collège : « il s’agit, au niveau des classes de sixième et de cinquième, de permettre aux élèves de s’approprier les règles du débat mathématique » (Arsac et al., 1992, page 1). Mais les fondements épistémologiques et didactiques sous-jacents à ces « innovations » ont donné matière à réflexions sur les questions de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques à des groupes de l’IREM de Lyon et plus largement à de nombreuses recherches actuelles en didactique des mathématiques.

Dans cette conférence, nous questionnerons le rôle des problèmes dans l’enseignement des mathématiques et les leçons toujours actuelles que Gilbert Arsac nous a léguées à travers les brochures de l’IREM de Lyon qu’il a dirigées (Arsac et al., 1988, Arsac et al. 1992, Arsac et Mante, 2007,…) mais aussi dans ses travaux d’histoire et d’épistémologie (Arsac, 1975, 1982, 1987, 2013, Arsac et al., 1989, 1992). Nous nous intéresserons ainsi à ce rapport complexe entre les innovations pédagogiques et leurs fondements théoriques dans le cadre des groupes dans lesquels chercheurs et enseignants collaborent.

Fonder son enseignement sur la recherche de problèmes : principes, mise en œuvre en classe et accompagnement des enseignants. (16h00-17h00)

Marie-Line Gardes (HEP Vaud, Suisse)
Miriam Di Francia (Collège Simone Lagrange, Villeurbanne) – IREM de Lyon, groupe DREAM

Les travaux du groupe DREAM s’inscrivent dans la tradition du problème ouvert de l’IREM de Lyon (Tisseron & Mizony, 1984/2005, Arsac et al., 1988, Arsac & Mante, 2007). Après avoir revisité plusieurs problèmes ouverts pour élaborer des situations didactiques de recherche (EXPRIME, 2010), nous nous sommes intéressés à l’élaboration de séquences d’enseignement fondées sur ces situations. Cette organisation de l’enseignement s’est construite par des allers-retours entre une réflexion théorique et épistémologique sur la place des problèmes dans la construction des savoirs mathématiques et la mise en place effective de ces situations en classe tout au long de l’année. Cela nous a également amené à penser un dispositif d’accompagnement des enseignants à la mise en œuvre de ces séquences en classe (Di Francia et al, 2024).

Dans cette conférence, nous présenterons une séquence d’enseignement fondée sur la recherche d’un problème, depuis ses principes de conception jusqu’aux modalités de mises en œuvre en classe. Nous discuterons du dispositif d’accompagnement que nous avons mis en place pour accompagner les enseignants dans la mise en œuvre de ce type de séquence.

Ateliers

Développer la compétence chercher chez les élèves : un exemple en 3^ème sur le problème du billard

Miriam Di Francia, Marie-Line Gardes, Jade Offredi, équipe DREAM, IREM de Lyon

Le problème du billard est un problème ouvert issu de la première publication de Gilbert Arsac, Gilles Germain et Michel Mante, Problème ouvert et situation-problème.

Dans cet atelier, nous proposons aux participants de découvrir la manière dont nous avons « revisité » ce problème. Nous montrerons des productions d’élèves et présenterons des outils méthodologiques que nous avons conçus pour développer et évaluer la compétence chercher.

Exemple d’analyses de séances dédiées à des problèmes ouverts au cycle 3

Christine Choquet-Pineau

Des professeurs des écoles choisissent de proposer en cycle 3 des séances dédiées à des problèmes ouverts (Arsac & Mante, 2007). Nous proposons dans cet atelier d’étudier plusieurs expérimentations menées dans le cadre de nos recherches récentes (Choquet, 2024) et plus anciennes (Choquet, 2014, 2016, 2017). Le travail de l’atelier portera sur les choix faits par les professeurs des écoles en termes d’énoncés et de mises en œuvre des séances. Nous pourrons ainsi repérer que malgré des changements des programmes de mathématiques du premier degré depuis une dizaine d’années, leurs choix restent quasiment les mêmes et sont surtout faits en lien avec les apprentissages visés pour les élèves. Nous pourrons également étudier les différents énoncés choisis du point de vue des raisonnements mathématiques en jeu et mettre en exergue la richesse du travail mathématique réalisé par les élèves de primaire lors de ces séances.

Résolution collaborative de problème et modélisation, une présentation du dispositif ResCo

Julien Lavole, Antoine Brilland, Sonia Yvain-Prébiski

Cet atelier s’inscrit dans le cadre du dispositif ResCo (Résolution Collaborative de problèmes), développé au sein de l’IRES de Montpellier. Ce dispositif, qui s’étend sur cinq semaines, propose à des élèves de collège et de lycée (général, technologique et professionnel) de s’engager dans une activité de modélisation mathématique fondée sur la résolution d’un problème de type fiction réaliste. L’authenticité de ce problème repose sur son ancrage dans une problématique professionnelle de modélisation (Yvain-Prébiski, 2018). Lors de cet atelier, le dispositif sera proposé « en accéléré », afin de faire vivre aux participants les spécificités de chacune de ses phases. Une attention particulière sera portée à la phase de questions-réponses entre classes, qui constitue un élément central du dispositif ResCo. L’activité des élèves au cours de cette phase présente certaines proximités avec la dimension argumentative des problèmes ouverts au sens d’Arsac et Mante (2007). L’atelier montrera également en quoi cette phase de questions-réponses fonde le caractère collaboratif de la résolution (Sauter et al., 2008) et favorise un travail de mathématisation horizontale lors du passage de la situation initiale à un modèle mathématique (Yvain-Prébiski, 2023 ; Brilland, 2025). Nous discuterons enfin des caractéristiques d’une fiction réaliste propice à l’entrée dans la modélisation, ainsi que du rôle de la fiction réaliste relancée, proposée par le groupe ResCo lors de la troisième semaine du dispositif, visant à stabiliser certains choix tout en maintenant un véritable travail de recherche mathématique accessible à différents niveaux scolaires. 

Situation pour la classe et problème ouvert

Eric Duchène Université Lyon1, Denise Grenier Institut Fourier Université Grenoble Alpes, Alejandro Rivera Université Lyon1

Maths à Modeler est une Structure Fédérative de Recherche (CNRS) née d’une collaboration de chercheurs et d’enseignants en mathématiques de Grenoble en 2003, avec l’objectif de proposer au grand public et aux scolaires de découvrir les mathématiques à travers la résolution de problèmes ludiques. Nous avons construit de vrais problèmes de recherche avec des critères précis décrits dans un modèle didactique « Situation de Recherche pour la Classe » (SiRC, Grenier et Payan, 1998 & 2003), inspirés de ceux que nous étudions dans nos laboratoires, et nous invitons les élèves et étudiants à les explorer en adoptant la démarche du chercheur. Nos ateliers font souvent appel à la manipulation à travers l'utilisation de plateaux et de pièces en bois. 
Les critères du modèle modèle SiRC peuvent être décrit schématiquement ainsi.
- La question est compréhensible à différents niveaux de connaissances, donc peu mathématisée, elle est posée dans une écriture la plus proche possible du langage naturel.
- La ou les solutions ne sont pas évidentes, et le problème n’est pas résolu immédiatement par un théorème ou un résultat connu.
- Il y a au moins une stratégie initiale « immédiate » et accessible, qui peut être obtenue expérimentalement par essai/erreur, ou par l’étude de cas particuliers.
- Des modélisations et ou des changements de cadres ou de registres (algébrique, analytique, géométrique, etc.) sont possibles et peuvent conduire à des stratégies de résolution différentes.
- L’activité de recherche permet de formuler des conjectures et de les étudier : exemples et contre-exemples sont accessibles
- La recherche peut conduire à de nouvelles questions en lien avec le problème, ou à une généralisation des résultats obtenus.

Le « problème ouvert » (Arsac et Mante, 2007) a fait l’objet de nombreuses études dans des travaux didactiques. L’objectif est de mettre les élèves dans une situation proche de celle du chercheur en mathématiques, en les confrontant à une question dont ils ne connaissent pas la solution, et en induisant la mise en œuvre d’une démarche scientifique. Des travaux récents ont étudié différents dispositifs d’accompagnement de l’activité de recherche en classe pour des problèmes de ce type (Di Francia et al. 2023). On peut rapprocher le problème ouvert du problem solving étudié depuis de nombreuses années par les chercheurs anglo-saxons (par exemple Schoenfeld, 2023). 
Dans cet atelier, nous proposerons aux participants de résoudre successivement deux SiRC que nous considérons comme exemplaires des situations du modèle SiRC, puis nous discuterons des  analogies et différences avec le modèle « problème ouvert ».

MATh.en.JEANS

Aline Parreau

MATh.en.JEANS est une association qui vise à faire découvrir la recherche en mathématiques dans les établissements scolaires sous l'impulsion d'un.e chercheur.euse et d'un.e enseignant.e. Les élèves se retrouvent de manière volontaire en dehors des temps de classe pour travailler sur un problème de recherche proposé par leur chercheur. Iels vont ensuite participer au congrès régionnal pour présenter leurs travaux et écrivent des articles pour laisser une trace de leur recherche.
Durant cet atelier, nous présenterons l'association et son fonctionnement puis des élèves d'ateliers de la région lyonnais expliqueront leurs sujets de recherche, vous feront à leur tour chercher et présenterons les résultats qu'iels ont obtenus !